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记忆化搜索

想体验把暴搜改改就是正解的快感吗？想体验状压 dp 看似状态多到爆炸实际一跑却嗷嗷快（实际有效的状态数很少）的荣耀吗？记忆化搜索，符合您的需求！只要 998 , 记忆化搜索带回家！记忆化搜索，记忆化搜索，再说一遍，记忆化搜索！

记忆化搜索是啥¶

好，就以 NOIP 2005 采药为例：

山洞里有 M 株不同的草药，采每一株都需要一些时间 $t_i$ ，每一株也有它自身的价值 $v_i$ 。我会给你一段时间 T，在这段时间里，你可以采到一些草药。让采到的草药的总价值最大。

我不会动态规划，只会搜索，我就会直接写一个粗暴的 DFS :

注：为了方便食用，本文中所有代码省略头文件

int n, t;
int tcost[103], mget[103];
int ans = 0;
void dfs(int pos, int tleft, int tans) {
  if (tleft < 0) return;
  if (pos == n + 1) {
    ans = max(ans, tans);
    return;
  }
  dfs(pos + 1, tleft, tans);
  dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos], tans + mget[pos]);
}
int main() {
  cin >> t >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> tcost[i] >> mget[i];
  dfs(1, t, 0);
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

这就是个十分智障的大暴搜是吧 ......

emmmmmm....... $30$ 分

然后我心血来潮，想不借助任何 "外部变量"（就是 dfs 函数外且 值随 dfs 运行而改变的变量 ), 比如 ans

把 ans 删了之后就有一个问题：我们拿什么来记录答案？

答案很简单：

返回值！

此时 $dfs(pos,tleft)$ 返回在时间 $tleft$ 内采集后 $pos$ 个草药，能获得的最大收益

不理解就看看代码吧：

int n, time;
int tcost[103], mget[103];
int dfs(int pos, int tleft) {
  if (pos == n + 1) return 0;
  int dfs1, dfs2 = -INF;
  dfs1 = dfs(pos + 1, tleft);
  if (tleft >= tcost[pos]) dfs2 = dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos]) + mget[pos];
  return max(dfs1, dfs2);
}
int main() {
  cin >> time >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> tcost[i] >> mget[i];
  cout << dfs(1, time) << endl;
  return 0;
}

~~emmmmmm....... 还是 ${30}$ 分~~

但这个时候，我们的程序已经不依赖任何外部变量了。

然后我非常无聊，将所有 dfs 的返回值都记录下来，竟然发现……

震惊，对于相同的 pos 和 tleft,dfs 的返回值总是相同的！

想一想也不奇怪，因为我们的 dfs 没有依赖任何外部变量。

旁白：像 $tcost[103]$ , $mget[103]$ 这种东西不算是外部变量，因为它们的值在 dfs 过程中不会被改变。

然后？

开个数组 $mem$ , 记录下来每个 $dfs(pos,tleft)$ 的返回值。刚开始把 $mem$ 中每个值都设成 $-1$ （代表没访问过）。每次刚刚进入一个 dfs 前（我们的 dfs 是递归调用的嘛），都检测 $mem[pos][tleft]$ 是否为 $-1$ , 如果是就正常执行并把答案记录到 $mem$ 中，否则？

直接返回 $mem$ 中的值！

int n, t;
int tcost[103], mget[103];
int mem[103][1003];
int dfs(int pos, int tleft) {
  if (mem[pos][tleft] != -1) return mem[pos][tleft];
  if (pos == n + 1) return mem[pos][tleft] = 0;
  int dfs1, dfs2 = -INF;
  dfs1 = dfs(pos + 1, tleft);
  if (tleft >= tcost[pos]) dfs2 = dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos]) + mget[pos];
  return mem[pos][tleft] = max(dfs1, dfs2);
}
int main() {
  memset(mem, -1, sizeof(mem));
  cin >> t >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> tcost[i] >> mget[i];
  cout << dfs(1, t) << endl;
  return 0;
}

此时 $mem$ 的意义与 dfs 相同：

在时间 $tleft$ 内采集后 $pos$ 个草药，能获得的最大收益

这能 ac ?

能。 这就是 "采药" 那题的 AC 代码

好我们 yy 出了记忆化搜索

总结一下记忆化搜索是啥：¶

不依赖任何 外部变量
答案以返回值的形式存在，而不能以参数的形式存在（就是不能将 dfs 定义成 $dfs(pos ,tleft , nowans )$ , 这里面的 nowans 不符合要求）。
对于相同一组参数，dfs 返回值总是相同的