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二叉堆

结构

从二叉堆的结构说起，它是一棵二叉树，并且是完全二叉树，每个结点中存有一个元素（或者说，有个权值）。

堆性质：父亲的权值不小于儿子的权值（大根堆）。同样的，我们可以定义小根堆。本文以大根堆为例。

由堆性质，树根存的是最大值（getmax 操作就解决了）。

插入操作

插入操作是指向二插堆中插入一个元素，要保证插入后也是一棵完全二叉树。

最简单的方法就是，最下一层最右边的叶子之后插入。

如果最下一层已满，就新增一层。

插入之后可能会不满足堆性质？

向上调整 ：如果这个结点的权值大于它父亲的权值，就交换，重复此过程直到不满足或者到根。

可以证明，插入之后向上调整后，没有其他结点会不满足堆性质。

向上调整的时间复杂度是 $O(\log n)$ 的。

删除操作

删除操作指删除堆中最大的元素，即删除根结点。

但是如果直接删除，则变成了两个堆，难以处理。

所以不妨考虑插入操作的逆过程，设法将根结点移到最后一个结点，然后直接删掉。

然而实际上不好做，我们通常采用的方法是，把根结点和最后一个结点直接交换。

于是直接删掉（在最后一个结点处的）根结点，但是新的根结点可能不满足堆性质……

向下调整 ：在该结点的所有儿子中，找一个最小的，与该结点交换，重复此过程直到底层。

可以证明，删除并向下调整后，没有其他结点不满足堆性质。

时间复杂度 $O(\log n)$ 。

减小某个点的权值

很显然，直接修改后，向上调整一次即可，时间复杂度为 $O(\log n)$ 。

实现

我们发现，上面介绍的几种操作主要依赖于两个核心：向上调整和向下调整。

（伪代码）

up(x) {
  while (x > 1 && h[x] > h[x / 2]) {
    swap(h[x], h[x / 2]);
    x /= 2;
  }
}
down(x) {
  while (x * 2 <= n) {
    t = x * 2;
    if (t + 1 <= n && h[t + 1] < h[t]) t++;
    if (h[t] >= h[x]) break;
    swap(h[x], h[t]);
    x = t;
  }
}

建堆

考虑这么一个问题，从一个空的堆开始，插入 $n$ 个元素，不在乎顺序。

直接一个一个插入需要 $O(n \log n)$ 的时间，有没有更好的方法？

方法一：使用 decreasekey（即，向上调整）

从根开始，按 BFS 序进行。

build_heap_1() {
    for (i = 1; i <= n; i++) up(i);
}

为啥这么做：对于第 $k$ 层的结点，向上调整的复杂度为 $O(k)$ 而不是 $O(\log n)$ 。

总复杂度： $\log 1 + \log 2 + \cdots + \log n = \Theta(n \log n)$ 。

（在「基于比较的排序」中证明过）

方法二：使用向下调整

这时换一种思路，从叶子开始，逐个向下调整

build_heap_2() {
    for (i = n; i >= 1; i--) down(i);
}

换一种理解方法，每次「合并」两个已经调整好的堆，这说明了正确性。

注意到向下调整的复杂度，为 $O(\log n - k)$ 。

$$\begin{aligned} 总复杂度 & = n \log n - \log 1 - \log 2 - \cdots - \log n \\ & \leq n \log n - 0 \times 2^0 - 1 \times 2^1 -\cdots - (\log n - 1) \times \frac{n}{2} \\\ & = n \log n - (n-1) - (n-2) - (n-4) - \cdots - (n-\frac{n}{2}) \\ & = n \log n - n \log n + 1 + 2 + 4 + \cdots + \frac{n}{2} \\ & = n - 1 \\ & = O(n) \end{aligned}$$

之所以能 $O(n)$ 建堆，是因为堆性质很弱，二叉堆并不是唯一的。

要是像排序那样的强条件就难说了。

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