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单调队列

在学习单调队列前，让我们先来看一道例题。

例题¶

Sliding Window

本题大意是给出一个长度为 $n$ 的数组，编程输出每 $k$ 个连续的数中的最大值和最小值。

最暴力的想法很简单，对于每一段 $i \sim i+k-1$ 的序列，逐个比较来找出最大值（和最小值），时间复杂度约为 $O(n \times k)$ 。

很显然，这其中进行了大量重复工作，除了开头 $k-1$ 个和结尾 $k-1$ 个数之外，每个数都进行了 $k$ 次比较，而题中 $100\%$ 的数据为 $n \le 1000000$ ，当 $k$ 稍大的情况下，显然会 TLE。

这时所用到的就是单调队列了。

概念¶

顾名思义，单调队列的重点分为 "单调" 和 "队列"

"单调" 指的是元素的的 "规律"——递增（或递减）

"队列" 指的是元素只能从队头和队尾进行操作

Ps. 单调队列中的 "队列" 与正常的队列有一定的区别，稍后会提到

例题分析¶

有了上面 "单调队列" 的概念，很容易想到用单调队列进行优化。

要求的是每连续的 $k$ 个数中的最大（最小）值，很明显，当一个数进入所要 "寻找" 最大值的范围中时，若这个数比其前面（先进队）的数要大，显然，前面的数会比这个数先出队且不再可能是最大值。

也就是说——当满足以上条件时，可将前面的数 "弹出"，再将该数真正 push 进队尾。

这就相当于维护了一个递减的队列，符合单调队列的定义，减少了重复的比较次数，不仅如此，由于维护出的队伍是查询范围内的且是递减的，队头必定是该查询区域内的最大值，因此输出时只需输出队头即可。

显而易见的是，在这样的算法中，每个数只要进队与出队各一次，因此时间复杂度被降到了 $O(N)$ 。

而由于查询区间长度是固定的，超出查询空间的值再大也不能输出，因此还需要 site 数组记录第 $i$ 个队中的数在原数组中的位置，以弹出越界的队头。

例如我们构造一个单调递增的队列会如下：

原序列为：

1	1 3 -1 -3 5 3 6 7

因为我们始终要维护队列保证其递增的特点，所以会有如下的事情发生：

操作	队列状态
1 入队	`{1}`
3 比 1 大，3 入队	`{1 3}`
-1 比队列中所有元素小，所以清空队列 -1 入队	`{-1}`
-3 比队列中所有元素小，所以清空队列 -3 入队	`{-3}`
5 比 3 大，直接入队	`{-3 5}`
3 比 5 小，5 出队，3 入队	`{-3 3}`
-3 已经在窗体外，所以 -3 出队；6 比 3 大，6 入队	`{3 6}`
7 比 6 大，7 入队	`{3 6 7}`

例题参考代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define maxn 1000100
using namespace std;
int q[maxn], a[maxn];
int n, k;
void getmin() {
  int head = 0, tail = 0;
  for (int i = 1; i < k; i++) {
    while (head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
    q[++tail] = i;
  }
  for (int i = k; i <= n; i++) {
    while (head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
    q[++tail] = i;
    while (q[head] <= i - k) head++;
    printf("%d ", a[q[head]]);
  }
}

void getmax() {
  int head = 0, tail = 0;
  for (int i = 1; i < k; i++) {
    while (head <= tail && a[q[tail]] <= a[i]) tail--;
    q[++tail] = i;
  }
  for (int i = k; i <= n; i++) {
    while (head <= tail && a[q[tail]] <= a[i]) tail--;
    q[++tail] = i;
    while (q[head] <= i - k) head++;
    printf("%d ", a[q[head]]);
  }
}

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &k);
  for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
  getmin();
  printf("\n");
  getmax();
  printf("\n");
  return 0;
}

Ps. 此处的 "队列" 跟普通队列的一大不同就在于可以从队尾进行操作，STL 中有类似的数据结构 deque。

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