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网络流简介

网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识，在这里，给大家介绍网络流中的一些基本知识。

网络¶

首先，请分清楚网络（或者流网络，Flow Network）与 网络流 （Flow）的概念。

网络是指一个有向图 $G=(V,E)$ 。

每条边 $(u,v)\in E$ 都有一个权值 $c(u,v)$ ，称之为容量（Capacity），当 $(u,v)\notin E$ 时有 $c(u,v)=0$ 。

其中有两个特殊的点：源点（Source） $s\in V$ 和汇点（Sink） $t\in V,(s\neq t)$ 。

设 $f(u,v)$ 定义在二元组 $(u\in V,v\in V)$ 上的实数函数且满足

容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即， $f(u,v)\leq c(u,v)$
斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即 $f(u,v)=-f(v,u)$
流守恒性：从源点流出的流量等于汇点流入的流量，即 $\forall x\in V-\{s,t\},\sum_{(u,x)\in E}f(u,x)=\sum_{(x,v)\in E}f(x,v)$

那么 $f$ 称为网络 $G$ 的流函数。对于 $(u,v)\in E$ ， $f(u,v)$ 称为边的流量， $c(u,v)-f(u,v)$ 称为边的 剩余容量 。整个网络的流量为 $\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)$ ，即 从源点发出的所有流量之和 。

一般而言也可以把网络流理解为整个图的流量。而这个流量必满足上述三个性质。

注：流函数的完整定义为

$f(u,v)=\left\{\begin{split} &f(u,v)&,(u,v)\in E\\ &-f(v,u)&,(v,u)\in E\\ &0&,(u,v)\notin E,(v,u)\notin E \end{split}\right.$

网络流问题中常见的有以下三种：最大流，最小割，费用流。

我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的最大流问题。

最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。

割其实就是删边的意思，当然最小割就是割掉 $X$ 条边来让 $S$ 跟 $T$ 不互通。我们要求 $X$ 条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。

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