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费用流

在看这篇文章前请先看网络流简介这篇 wiki 的定义部分

费用流¶

给定一个网络 $G=(V,E)$ ，每条边除了有容量限制 $c(u,v)$ ，还有一个单位限制 $w(u,v)$

当 $(u,v)$ 的流量为 $f(u,v)$ 时，需要花费 $f(u,v)\times w(u,v)$ .

$w$ 也满足斜对称性，即 $w(u,v)=-w(v,u)$ .

则该网络中总花费最小的最大流称为 最小费用最大流 ，即在最大化 $\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)$ 的前提下最小化 $\sum_{(u,v)\in E}f(u,v)\times w(u,v)$ .

费用¶

我们定义一条边的费用 $w(u,v)$ 表示边 $(u,v)$ 上单位流量的费用。也就是说，当边 $(u,v)$ 的流量为 $f(u,v)$ 时，需要花费 $f(u,v)\times w(u,v)$ 的费用。

最小费用最大流¶

网络流图中，花费最小的最大流被称为 最小费用最大流 ，这也是接下来我们要研究的对象。

MCMF 算法¶

在最大流的 EK 算法求解最大流的基础上，把 用 BFS 求解任意增广路 改为 用 SPFA 求解单位费用之和最小的增广路 即可

相当于把 $w(u,v)$ 作为边权，在残存网络上求最短路

核心代码¶

struct qxx {
  int nex, t, v, c;
};
qxx e[M];
int h[N], cnt = 1;
void add_path(int f, int t, int v, int c) {
  e[++cnt] = (qxx){h[f], t, v, c}, h[f] = cnt;
}
void add_flow(int f, int t, int v, int c) {
  add_path(f, t, v, c);
  add_path(t, f, 0, -c);
}

int dis[N], pre[N], incf[N];
bool vis[N];
bool spfa() {
  memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
  queue<int> q;
  q.push(s), dis[s] = 0, incf[s] = INF, incf[t] = 0;
  while (q.size()) {
    int u = q.front();
    q.pop();
    vis[u] = 0;
    for (int i = h[u]; i; i = e[i].nex) {
      const int &v = e[i].t, &w = e[i].v, &c = e[i].c;
      if (!w || dis[v] <= dis[u] + c) continue;
      dis[v] = dis[u] + c, incf[v] = min(w, incf[u]), pre[v] = i;
      if (!vis[v]) q.push(v), vis[v] = 1;
    }
  }
  return incf[t];
}
int maxflow, mincost;
void update() {
  maxflow += incf[t];
  for (int u = t; u != s; u = e[pre[u] ^ 1].t) {
    e[pre[u]].v -= incf[t], e[pre[u] ^ 1].v += incf[t];
    mincost += incf[t] * e[pre[u]].c;
  }
}
// 调用：while(spfa())update();

类 Dinic 算法¶

我们可以在 $\text{Dinic}$ 算法的基础上进行改进，把 $\text{BFS}$ 求分层图改为用 $\text{SPFA}$ （由于有负权边，所以不能直接用 $\text{Dijkstra}$ ）来求一条单位费用之和最小的路径，也就是把 $w(u,v)$ 当做边权然后在残量网络上求最短路，当然在 $\text{DFS}$ 中也要略作修改。这样就可以求得网络流图的 最小费用最大流 了。

如何建 反向边 ？对于一条边 $(u,v,w,c)$ （其中 $w$ 和 $c$ 分别为容量和费用），我们建立正向边 $(u,v,w,c)$ 和反向边 $(v,u,0,-c)$ （其中 $-c$ 是使得从反向边经过时退回原来的费用）。

优化：如果你是“关于 $\text{SPFA}$ ，它死了”言论的追随者，那么你可以使用 $\text{Primal-Dual}$ 原始对偶算法将 $\text{SPFA}$ 改成 $\text{Dijkstra}$ ！

时间复杂度 ：可以证明上界为 $O(nmf)$ ，其中 $f$ 表示流量。

代码¶

最小费用最大流

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>

const int N = 5e3 + 5, M = 1e5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, tot = 1, lnk[N], cur[N], ter[M], nxt[M], cap[M], cost[M], dis[N], ret;
bool vis[N];

void add(int u, int v, int w, int c) {
  ter[++tot] = v, nxt[tot] = lnk[u], lnk[u] = tot, cap[tot] = w, cost[tot] = c;
}
void addedge(int u, int v, int w, int c) { add(u, v, w, c), add(v, u, 0, -c); }
bool spfa(int s, int t) {
  memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
  memcpy(cur, lnk, sizeof(lnk));
  std::queue<int> q;
  q.push(s), dis[s] = 0, vis[s] = 1;
  while (!q.empty()) {
    int u = q.front();
    q.pop(), vis[u] = 0;
    for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
      int v = ter[i];
      if (cap[i] && dis[v] > dis[u] + cost[i]) {
        dis[v] = dis[u] + cost[i];
        if (!vis[v]) q.push(v), vis[v] = 1;
      }
    }
  }
  return dis[t] != INF;
}
int dfs(int u, int t, int flow) {
  if (u == t) return flow;
  vis[u] = 1;
  int ans = 0;
  for (int &i = cur[u]; i && ans < flow; i = nxt[i]) {
    int v = ter[i];
    if (!vis[v] && cap[i] && dis[v] == dis[u] + cost[i]) {
      int x = dfs(v, t, std::min(cap[i], flow - ans));
      if (x) ret += x * cost[i], cap[i] -= x, cap[i ^ 1] += x, ans += x;
    }
  }
  vis[u] = 0;
  return ans;
}
int mcmf(int s, int t) {
  int ans = 0;
  while (spfa(s, t)) {
    int x;
    while ((x = dfs(s, t, INF))) ans += x;
  }
  return ans;
}
int main() {
  int s, t;
  scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t);
  while (m--) {
    int u, v, w, c;
    scanf("%d%d%d%d", &u, &v, &w, &c);
    addedge(u, v, w, c);
  }
  int ans = mcmf(s, t);
  printf("%d %d\n", ans, ret);
  return 0;
}

习题¶

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费用¶

最小费用最大流¶

MCMF 算法¶

核心代码¶

类 Dinic 算法¶

代码¶

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