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最小生成树

定义¶

在阅读下列内容之前，请务必阅读图论基础与树基础部分，并了解以下定义：

生成子图
生成树

我们定义无向连通图的 最小生成树 （Minimum Spanning Tree，MST）为边权和最小的生成树。

注意：只有连通图才有生成树，而对于非连通图，只存在生成森林。

Kruskal 算法¶

Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法，由 Kruskal 发明。该算法的基本思想是从小到大加入边，是个贪心算法。

前置知识¶

并查集、贪心、图的存储。

证明¶

思路很简单，为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 $n-1$ 条边，即形成了一棵树。

证明：使用归纳法，证明任何时候 K 算法选择的边集都被某棵 MST 所包含。

基础：对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在）。

归纳：假设某时刻成立，当前边集为 $F$ ，令 $T$ 为这棵 MST，考虑下一条加入的边 $e$ 。

如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。

否则， $T+e$ 一定存在一个环，考虑这个环上不属于 $F$ 的另一条边 $f$ （一定只有一条）。

首先， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 小，不然 $f$ 会在 $e$ 之前被选取。

然后， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 大，不然 $T+e-f$ 就是一棵比 $T$ 还优的生成树了。

所以， $T+e-f$ 包含了 $F$ ，并且也是一棵最小生成树，归纳成立。

实现¶

算法虽简单，但需要相应的数据结构来支持……

具体来说，维护一个森林，查询两个结点是否在同一棵树中，连接两棵树。

抽象一点地说，维护一堆集合，查询两个元素是否属于同一集合，合并两个集合。

我们先啥都不管，假设已经实现了这个数据结构……

伪代码：

$\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Input. } \text{The edges of the graph } e , \text{ where each element in } e \text{ is } (u, v, w) \\ & \text{ denoting that there is an edge between } u \text{ and } v \text{ weighted } w . \\ 2 & \textbf{Output. } \text{The edges of the MST of the input graph}.\\ 3 & \textbf{Method. } \\ 4 & result \gets \varnothing \\ 5 & \text{sort } e \text{ into nondecreasing order by weight } w \\ 6 & \textbf{for} \text{ each } (u, v, w) \text{ in the sorted } e \\ 7 & \qquad \textbf{if } u \text{ and } v \text{ are not connected in the union-find set } \\ 8 & \qquad\qquad \text{connect } u \text{ and } v \text{ in the union-find set} \\ 9 & \qquad\qquad result \gets result\;\bigcup\ \{(u, v, w)\} \\ 10 & \textbf{return } result \end{array}$

其中，查询两点是否连通和连接两点可以使用并查集维护。

如果使用 $O(m\log m)$ 的排序算法，并且使用 $O(m\alpha(m, n))$ 或 $O(m\log n)$ 的并查集，就可以得到时间复杂度为 $O(m\log m)$ 的 Kruskal 算法。

Prim 算法¶

Prim 算法是另一种常见并且好写的最小生成树算法。该算法的基本思想是从一个结点开始，不断加点（而不是 Kruskal 算法的加边）。

证明¶

从任意一个结点开始，将结点分成两类：已加入的，未加入的。

每次从未加入的结点中，找一个与已加入的结点之间边权最小值最小的结点。

然后将这个结点加入，并连上那条边权最小的边。

重复 $n-1$ 次即可。

证明：还是说明在每一步，都存在一棵最小生成树包含已选边集。

基础：只有一个结点的时候，显然成立。

归纳：如果某一步成立，当前边集为 $F$ ，属于 $T$ 这棵 MST，接下来要加入边 $e$ 。

如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。

否则考虑 $T+e$ 中环上另一条可以加入当前边集的边 $f$ 。

首先， $f$ 的权值一定不小于 $e$ 的权值，否则就会选择 $f$ 而不是 $e$ 了。

然后， $f$ 的权值一定不大于 $e$ 的权值，否则 $T+e-f$ 就是一棵更小的生成树了。

因此， $e$ 和 $f$ 的权值相等， $T+e-f$ 也是一棵最小生成树，且包含了 $F$ 。

实现¶

具体来说，每次要选择距离最小的一个结点，以及用新的边更新其他结点的距离。

等等，这很像 Dijkstra 算法……

其实跟 Dijkstra 算法一样，每次找到距离最小的一个点，可以暴力找也可以用堆维护。

堆优化的方式类似 Dijkstra 的堆优化，但如果使用二叉堆等不支持 $O(1)$ decrease-key 的堆，复杂度就不优于 Kruskal，常数也比 Kruskal 大。所以，一般情况下都使用 Kruskal 算法，在稠密图尤其是完全图上，暴力 Prim 的复杂度比 Kruskal 优，但 不一定 实际跑得更快。

暴力： $O(n^2+m)$ 。

二叉堆： $O((n+m) \log n)$ 。

Fib 堆： $O(n \log n + m)$ 。

伪代码：

$\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Input. } \text{The nodes of the graph }V\text{ ; the function }g(u, v)\text{ which}\\ & \text{means the weight of the edge }(u, v)\text{; the function }adj(v)\text{ which}\\ & \text{means the nodes adjacent to }v.\\ 2 & \textbf{Output. } \text{The sum of weights of the MST of the input graph.} \\ 3 & \textbf{Method.} \\ 4 & result \gets 0 \\ 5 & \text{choose an arbitrary node in }V\text{ to be the }root \\ 6 & dis(root)\gets 0 \\ 7 & \textbf{for } \text{each node }v\in(V-\{root\}) \\ 8 & \qquad dis(v)\gets\infty \\ 9 & rest\gets V \\ 10 & \textbf{while } rest\ne\varnothing \\ 11 & \qquad cur\gets \text{the node with the minimum }dis\text{ in }rest \\ 12 & \qquad result\gets result+dis(cur) \\ 13 & \qquad rest\gets rest-\{cur\} \\ 14 & \qquad \textbf{for}\text{ each node }v\in adj(cur) \\ 15 & \qquad\qquad dis(v)\gets\min(dis(v), g(cur, v)) \\ 16 & \textbf{return } result \end{array}$

注意：上述代码只是求出了最小生成树的权值，如果要输出方案还需要记录每个点的 $dis$ 代表的是哪条边。

Boruvka 算法¶

接下来介绍另一种求解最小生成树的算法——Boruvka 算法。该算法的思想是前两种算法的结合。它可以用于求解 边权互不相同 的无向图的最小生成森林。（无向连通图就是最小生成树。）

为了描述该算法，我们需要引入一些定义：

定义 $E'$ 为我们当前找到的最小生成森林的边。在算法执行过程中，我们逐步向 $E'$ 加边，定义 连通块 表示一个点集 $V'\subseteq V$ ，且这个点集中的任意两个点 $u$ , $v$ 在 $E'$ 中的边构成的子图上是连通的（互相可达）。
定义一个连通块的 最小边 为它连向其它连通块的边中权值最小的那一条。

初始时， $E'=\varnothing$ ，每个点各自是一个连通块：

计算每个点分别属于哪个连通块。将每个连通块都设为“没有最小边”。
遍历每条边 $(u, v)$ ，如果 $u$ 和 $v$ 不在同一个连通块，就用这条边的边权分别更新 $u$ 和 $v$ 所在连通块的最小边。
如果所有连通块都没有最小边，退出程序，此时的 $E'$ 就是原图最小生成森林的边集。否则，将每个有最小边的连通块的最小边加入 $E'$ ，返回第一步。

下面通过一张动态图来举一个例子（图源自维基百科）：

当原图连通时，每次迭代连通块数量至少减半，算法只会迭代不超过 $O(\log V)$ 次，而原图不连通时相当于多个子问题，因此算法复杂度是 $O(E\log V)$ 的。给出算法的伪代码：（修改自维基百科）

$\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Input. } \text{A graph }G\text{ whose edges have distinct weights. } \\ 2 & \textbf{Output. } \text{The minimum spanning forest of }G . \\ 3 & \textbf{Method. } \\ 4 & \text{Initialize a forest }F\text{ to be a set of one-vertex trees} \\ 5 & \textbf{while } \text{True} \\ 6 & \qquad \text{Find the components of }F\text{ and label each vertex of }G\text{ by its component } \\ 7 & \qquad \text{Initialize the cheapest edge for each component to "None"} \\ 8 & \qquad \textbf{for } \text{each edge }(u, v)\text{ of }G \\ 9 & \qquad\qquad \textbf{if } u\text{ and }v\text{ have different component labels} \\ 10 & \qquad\qquad\qquad \textbf{if } (u, v)\text{ is cheaper than the cheapest edge for the component of }u \\ 11 & \qquad\qquad\qquad\qquad\text{ Set }(u, v)\text{ as the cheapest edge for the component of }u \\ 12 & \qquad\qquad\qquad \textbf{if } (u, v)\text{ is cheaper than the cheapest edge for the component of }v \\ 13 & \qquad\qquad\qquad\qquad\text{ Set }(u, v)\text{ as the cheapest edge for the component of }v \\ 14 & \qquad \textbf{if }\text{ all components'cheapest edges are "None"} \\ 15 & \qquad\qquad \textbf{return } F \\ 16 & \qquad \textbf{for }\text{ each component whose cheapest edge is not "None"} \\ 17 & \qquad\qquad\text{ Add its cheapest edge to }F \\ \end{array}$

习题¶

最小生成树的唯一性¶

考虑最小生成树的唯一性。如果一条边 不在最小生成树的边集中 ，并且可以替换与其 权值相同、并且在最小生成树边集 的另一条边。那么，这个最小生成树就是不唯一的。

对于 Kruskal 算法，只要计算为当前权值的边可以放几条，实际放了几条，如果这两个值不一样，那么就说明这几条边与之前的边产生了一个环（这个环中至少有两条当前权值的边，否则根据并查集，这条边是不能放的），即最小生成树不唯一。

寻找权值与当前边相同的边，我们只需要记录头尾指针，用单调队列即可在 $O(\alpha(m))$ （m 为边数）的时间复杂度里优秀解决这个问题（基本与原算法时间相同）。

例题：POJ 1679

#include <algorithm>
#include <cstdio>

struct Edge {
  int x, y, z;
};
int f[100001];
Edge a[100001];
int cmp(const Edge& a, const Edge& b) { return a.z < b.z; }
int find(int x) { return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]); }
int main() {
  int t;
  scanf("%d", &t);
  while (t--) {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = i;
    for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].z);
    sort(a + 1, a + m + 1, cmp);
    int num = 0, ans = 0, tail = 0, sum1 = 0, sum2 = 0;
    bool flag = 1;
    for (int i = 1; i <= m + 1; i++) {
      if (i > tail) {
        if (sum1 != sum2) {
          flag = 0;
          break;
        }
        sum1 = 0;
        for (int j = i; j <= m + 1; j++) {
          if (a[j].z != a[i].z) {
            tail = j - 1;
            break;
          }
          if (find(a[j].x) != find(a[j].y)) ++sum1;
        }
        sum2 = 0;
      }
      if (i > m) break;
      int x = find(a[i].x);
      int y = find(a[i].y);
      if (x != y && num != n - 1) {
        sum2++;
        num++;
        f[x] = f[y];
        ans += a[i].z;
      }
    }
    if (flag)
      printf("%d\n", ans);
    else
      printf("Not Unique!\n");
  }
  return 0;
}

次小生成树¶

非严格次小生成树¶

定义¶

在无向图中，边权和最小的满足边权和 大于等于 最小生成树边权和的生成树

求解方法¶

求出无向图的最小生成树 $T$ ，设其权值和为 $M$
遍历每条未被选中的边 $e = (u,v,w)$ ，找到 $T$ 中 $u$ 到 $v$ 路径上边权最大的一条边 $e' = (s,t,w')$ ，则在 $T$ 中以 $e$ 替换 $e'$ ，可得一棵权值和为 $M' = M + w - w'$ 的生成树 $T'$ .
对所有替换得到的答案 $M'$ 取最小值即可

如何求 $u,v$ 路径上的边权最大值呢？

我们可以使用倍增来维护，预处理出每个节点的 $2^i$ 级祖先及到达其 $2^i$ 级祖先路径上最大的边权，这样在倍增求 LCA 的过程中可以直接求得。

严格次小生成树¶

定义¶

在无向图中，边权和最小的满足边权和 严格大于 最小生成树边权和的生成树

求解方法¶

考虑刚才的非严格次小生成树求解过程，为什么求得的解是非严格的？

因为最小生成树保证生成树中 $u$ 到 $v$ 路径上的边权最大值一定 不大于 其他从 $u$ 到 $v$ 路径的边权最大值。换言之，当我们用于替换的边的权值与原生成树中被替换边的权值相等时，得到的次小生成树是非严格的。

解决的办法很自然：我们维护到 $2^i$ 级祖先路径上的最大边权的同时维护 严格次大边权 ，当用于替换的边的权值与原生成树中路径最大边权相等时，我们用严格次大值来替换即可。

这个过程可以用倍增求解，复杂度 $O(m \log m)$ 。

代码¶

#include <algorithm>
#include <iostream>

const int INF = 0x3fffffff;
const long long INF64 = 0x3fffffffffffffffLL;

struct Edge {
  int u, v, val;
  bool operator<(const Edge &other) const { return val < other.val; }
};

Edge e[300010];
bool used[300010];

int n, m;
long long sum;

class Tr {
 private:
  struct Edge {
    int to, nxt, val;
  } e[600010];
  int cnt, head[100010];

  int pnt[100010][22];
  int dpth[100010];
  // 到祖先的路径上边权最大的边
  int maxx[100010][22];
  // 到祖先的路径上边权次大的边，若不存在则为 -INF
  int minn[100010][22];

 public:
  void addedge(int u, int v, int val) {
    e[++cnt] = (Edge){v, head[u], val};
    head[u] = cnt;
  }

  void insedge(int u, int v, int val) {
    addedge(u, v, val);
    addedge(v, u, val);
  }

  void dfs(int now, int fa) {
    dpth[now] = dpth[fa] + 1;
    pnt[now][0] = fa;
    minn[now][0] = -INF;
    for (int i = 1; (1 << i) <= dpth[now]; i++) {
      pnt[now][i] = pnt[pnt[now][i - 1]][i - 1];
      int kk[4] = {maxx[now][i - 1], maxx[pnt[now][i - 1]][i - 1],
                   minn[now][i - 1], minn[pnt[now][i - 1]][i - 1]};
      // 从四个值中取得最大值
      std::sort(kk, kk + 4);
      maxx[now][i] = kk[3];
      // 取得严格次大值
      int ptr = 2;
      while (ptr >= 0 && kk[ptr] == kk[3]) ptr--;
      minn[now][i] = (ptr == -1 ? -INF : kk[ptr]);
    }

    for (int i = head[now]; i; i = e[i].nxt) {
      if (e[i].to != fa) {
        maxx[e[i].to][0] = e[i].val;
        dfs(e[i].to, now);
      }
    }
  }

  int lca(int a, int b) {
    if (dpth[a] < dpth[b]) std::swap(a, b);

    for (int i = 21; i >= 0; i--)
      if (dpth[pnt[a][i]] >= dpth[b]) a = pnt[a][i];

    if (a == b) return a;

    for (int i = 21; i >= 0; i--) {
      if (pnt[a][i] != pnt[b][i]) {
        a = pnt[a][i];
        b = pnt[b][i];
      }
    }
    return pnt[a][0];
  }

  int query(int a, int b, int val) {
    int res = -INF;
    for (int i = 21; i >= 0; i--) {
      if (dpth[pnt[a][i]] >= dpth[b]) {
        if (val != maxx[a][i])
          res = std::max(res, maxx[a][i]);
        else
          res = std::max(res, minn[a][i]);
        a = pnt[a][i];
      }
    }
    return res;
  }
} tr;

int fa[100010];
int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }

void Kruskal() {
  int tot = 0;
  std::sort(e + 1, e + m + 1);
  for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;

  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int a = find(e[i].u);
    int b = find(e[i].v);
    if (a != b) {
      fa[a] = b;
      tot++;
      tr.insedge(e[i].u, e[i].v, e[i].val);
      sum += e[i].val;
      used[i] = 1;
    }
    if (tot == n - 1) break;
  }
}

int main() {
  std::ios::sync_with_stdio(0);
  std::cin.tie(0);
  std::cout.tie(0);

  std::cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int u, v, val;
    std::cin >> u >> v >> val;
    e[i] = (Edge){u, v, val};
  }

  Kruskal();
  long long ans = INF64;
  tr.dfs(1, 0);

  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    if (!used[i]) {
      int _lca = tr.lca(e[i].u, e[i].v);
      // 找到路径上不等于 e[i].val 的最大边权
      long long tmpa = tr.query(e[i].u, _lca, e[i].val);
      long long tmpb = tr.query(e[i].v, _lca, e[i].val);
      // 这样的边可能不存在，只在这样的边存在时更新答案
      if (std::max(tmpa, tmpb) > -INF)
        ans = std::min(ans, sum - std::max(tmpa, tmpb) + e[i].val);
    }
  }
  // 次小生成树不存在时输出 -1
  std::cout << (ans == INF64 ? -1 : ans) << '\n';
  return 0;
}

瓶颈生成树¶

定义¶

无向图 $G$ 的瓶颈生成树是这样的一个生成树，它的最大的边权值在 $G$ 的所有生成树中最小。

性质¶

最小生成树是瓶颈生成树的充分不必要条件。 即最小生成树一定是瓶颈生成树，而瓶颈生成树不一定是最小生成树。

关于最小生成树一定是瓶颈生成树这一命题，可以运用反证法证明：我们设最小生成树中的最大边权为 $w$ ，如果最小生成树不是瓶颈生成树的话，则瓶颈生成树的所有边权都小于 $w$ ，我们只需删去原最小生成树中的最长边，用瓶颈生成树中的一条边来连接删去边后形成的两棵树，得到的新生成树一定比原最小生成树的权值和还要小，这样就产生了矛盾。

例题¶

POJ 2395 Out of Hay

给出 n 个农场和 m 条边，农场按 1 到 n 编号，现在有一人要从编号为 1 的农场出发到其他的农场去，求在这途中他最多需要携带的水的重量，注意他每到达一个农场，可以对水进行补给，且要使总共的路径长度最小。题目要求的就是瓶颈树的最大边，可以通过求最小生成树来解决。

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最小生成树

定义¶

Kruskal 算法¶

前置知识¶

证明¶

实现¶

Prim 算法¶

证明¶

实现¶

Boruvka 算法¶

习题¶

最小生成树的唯一性¶

次小生成树¶

非严格次小生成树¶

定义¶

求解方法¶

严格次小生成树¶

定义¶

求解方法¶

代码¶

瓶颈生成树¶

定义¶

性质¶

例题¶

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