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数学部分简介

在 OI/ACM 的各种比赛中，常常会有数学题的出现。

这些数学题以数论、排列组合、概率期望、多项式为代表，可以出现在几乎任何类别的题目中。

举几个栗子：

1. 多项式可以优化卷积形式的背包，可以做一些字符串题。
2. 很多 DP 类型的题都可以结合排列组合/概率期望。

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以下是你可以在本部分找到的知识（部分未完成，待补充）

1. 进制：多种进制的介绍与互相转化。
2. 位运算：二进制下的按位运算（与、或、非等）。
3. 高精度：当数字过大，语言变量类型不足以存储时的处理方法。
4. 整除：质数、最大公约数、欧拉函数与欧拉定理、（类）欧几里德算法。
5. 同余：裴蜀定理、逆元、中国剩余定理、大步小步（BSGS）算法、阶与原根。
6. 线性代数基础：矩阵、高斯消元（矩阵/概率期望）、线性基。
7. 复数与复平面
8. 数论反演：主要有莫比乌斯反演。
9. 筛法：埃氏筛、欧拉筛（线性筛）、杜教筛/洲阁筛。
10. 多项式：快速傅里叶变换（FFT）、快速数论变换（NTT），拉格朗日插值、多项式的各种变换。
11. 组合数学：排列组合、卡特兰数、斯特林数、康托展开、容斥原理、抽屉原理。
12. 概率与期望
13. 置换
14. 线性规划
15. 单纯形算法
16. 博弈论算法
17. 快速幂算法
18. 向量
19. 极坐标与极坐标系
20. 其他算法

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OI 中的数学以高中，大学的数学为基础，考察选手对数学知识的掌握，利用计算机的计算能力来解决问题。

NOIP 中有可能会考察的知识点

然而 NOIP 可能考察更多的知识点，这里只是利用之前的题总结出来的，考过或者考的概率比较大的知识点。

NOIP 对数学的考察还处在一个比较简单的范围。

1. 进制相关——通常是利用进制优化一些问题，博弈论中也多有涉及
2. 位运算——状压常用，数据范围较小时可以用来表示状态
3. 高精度——不包括需要利用多项式的高精度，其思想类似于纸笔模拟计算
4. 整除性质—— $\gcd$ ， $\operatorname{lcm}$ ，欧拉函数，费马小定理，筛素数，应用颇广
5. 同余相关——exgcd，逆元，中国剩余定理，解同余方程组
6. 概率期望——概率 DP，以及有可能用到高斯消元解决的概率 DP
7. 排列组合——杨辉三角，二项式定理，卢卡斯定理，卡特兰数
8. 数论问题——素数（质数），快速幂，找规律

常见符号

在学习数论的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前，建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到，而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。

复杂度函数

1. 大 $O$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ |f(x)|\leq M|g(x)|$ ，我们就可以认为， $f(x)=O(g(x))$ 。
2. 大 $\Omega$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ f(x)\geq Mg(x)$ ，我们就可以认为， $f(x)=\Omega (g(x))$ . 大 $O$ 与大 $\Omega$ 恰好相反，即 $f(x)=O(g(x))\Leftrightarrow g(x)=\Omega(f(x))$ 。
3. 大 $\Theta$ 符号：大 $\Theta$ 符号是大 $\text{O}$ 和大 $\Omega$ 的结合，即 $f(x)=O(g(x))\wedge f(x)=\Omega(g(x))\ \Rightarrow f(x)=\Theta(g(x))$ 。

整除/同余理论常见符号

1. 整除符号： $x\mid y$ ，表示 $x$ 整除 $y$ ，即 $x$ 是 $y$ 的因数。
2. 取模符号： $x\bmod y$ ，表示 $x$ 除以 $y$ 得到的余数。
3. 互质符号： $x\perp y$ ，表示 $x$ , $y$ 互质。
4. 最大公约数： $\gcd(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $(x,y)$ 。
5. 最小公倍数： $\operatorname{lcm}(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $[x,y]$ 。

数论函数常见符号

求和符号： $\sum$ 符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子：

• $\sum_{i=1}^n i$ 表示 $1+2+\dotsb+n$ 的和。其中 $i$ 是一个变量，在求和符号的意义下 $i$ 通常是 正整数或者非负整数 （除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为， $i$ 从 $1$ 循环到 $n$ ，所有 $i$ 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$ 。
• $\sum_{S\subseteq T}|S|$ 表示所有被 $T$ 包含的集合的大小的和。
• $\sum_{p\le n,p\perp n}1$ 表示的是 $n$ 以内有多少个与 $n$ 互质的数，即 $\varphi(n)$ ， $\varphi$ 是欧拉函数。

求积符号： $\prod$ 符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子：

• $\prod_{i=1}^ni$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!$ 。在组合数学常见符号中会讲到。
• $\prod_{i=1}^na_i$ 表示 $a_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n$ 。
• $\prod_{x|d}x$ 表示 $d$ 的所有因数的乘积。

在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。

其他常见符号

1. 阶乘符号 $!$ ， $n!$ 表示 $1\times 2\times 3\times \dotsb \times n$ 。
2. 向下取整符号： $\lfloor x\rfloor$ ，表示小于等于 $x$ 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 $\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor$ 。
3. 向上取整符号： $\lceil x\rceil$ ，与向下取整符号相对，表示大于等于 $x$ 的最小的整数。

温馨提示

在「基础知识」一栏中介绍了在 OI 中可能用到的重要高中数学知识。

如果您是高中 OIer，强烈建议您回班级听课，相比于自学，老师讲课可以使您理解得更透彻。

该栏目按照从必修到选修的顺序介绍。所有内容均基于《普通高中课程标准实验教科书 数学》（人教 A 版）。

另外，还请大家学好高一数学，这样学习数论的时侯会省很多功夫。

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