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位运算

位运算就是把整数转换为二进制后，每位进行相应的运算得到结果。

常用的运算符共 6 种，分别为与（ & ）、或（ | ）、异或（ ^ ）、取反（ ~ ）、左移（ << ）和右移（ >> ）。

与、或、异或¶

与（ & ）或（ | ）和异或（ ^ ）这三者都是两者间的运算，因此在这里一起讲解。

表示把两个整数分别转换为二进制后各位逐一比较。

运算符	解释
`&`	只有在两个（对应位数中）都为 1 时才为 1
`\|`	只要在两个（对应位数中）有一个 1 时就为 1
`^`	只有两个（对应位数）不同时才为 1

^ 运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 (a ^ b) ^ b = a 。

举例：

$\begin{aligned} &5&=&&(101)_2\\ &6&=&&(110)_2\\ &5\tt\,\&\,6\rm&=&&(100)_2&=\ 4\\ &5\tt\,|\,\rm6&=&&(111)_2&=\ 7\\ &5\tt\,\text{^}\,\rm6&=&&(011)_2&=\ 3\\ \end{aligned}$

取反¶

取反是对 1 个数 $num$ 进行的计算。

~ 把 $num$ 的补码中的 0 和 1 全部取反（0 变为 1，1 变为 0）。

补码——正数的补码为其（二进制）本身，负数的补码是其（二进制）取反后 $+1$ 。

举例：

$\begin{aligned} 5=(0000\ 0101)_2\\ 5\ \text{的补码} =(1111\ 1010)_2\\ \tt\ \text{~}\rm5=(1111\ 1010)_2 \end{aligned}$

左移和右移¶

与前面的 4 种运算相似，这两种运算仍是把整数转换为二进制后进行操作。

左移（ << ）将转化为二进制后的数字整体向左移动。

num << i //表示将 $num$ 转换为二进制后向左移动 $i$ 位（所得的值）

右移（ >> ）将转化为二进制后的数字整体向右移动。

num >> i //表示将 $num$ 转换为二进制后向右移动 $i$ 位（所得的值）

举例：

$\begin{aligned} &5&&=&&(00000101)_2\\ &5\tt\,<<\,\rm1&&=&&(00001010)_2\!\!\!&=&&\!\!\!10\\ &5\tt>>\rm1&&=&&(00000010)_2&=&&2 \end{aligned}$

在 C++ 中，右移操作中右侧多余的位将会被舍弃。而左侧较为复杂：对于无符号数，会在左侧补 0；而对于有符号数，则会用最高位的数补齐（Replicate most significant bit on left）。

注意：

左移和右移是有返回值的，并非对 $num$ 本身进行操作。
左移和右移的优先级低于四则运算符，例如 $x<<1+1$ 会被解释为 $x<<(1+1)$ ，所以必要的时候，要使用括号。

位运算的应用¶

如果 $num$ 是整数， num << i 相当于 $num \times 2^i$ ，而 num >> i 相当于 $num \div 2^i$ 。（位运算比 % 和 / 操作快得多）（据 2018JSOI 夏令营，效率可以提高 60%)

Warning

我们平常写的除法是向 0 取整，而这里的右移是向下取整（注意这里的区别），即当数大于等于 0 时两种方法等价，当数小于 0 时会有区别，如： $-1 \div 2 = 0$ , 而 $-1 >> 1 = -1$

num * 10 = (num<<1) + (num<<3)

num & 1 相当于取 $num$ 二进制的最末位，可用于判断 $num$ 的奇偶性，二进制的最末位为 0 表示该数为偶数，最末位为 1 表示该数为奇数。

// 利用位运算的快捷的 swap 代码
void swap(int &a, int &b) {
  a = a ^ b;
  b = a ^ b;
  a = a ^ b;
}

一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。比如集合 {1, 3, 4, 8} ，可以表示成 0b00000000000000000000000100011010 ，十进制就是 $2^8+2^4+2^3+2^1=282$ 。

而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。

操作	集合表示	位运算语句
交集	$a \cap b$	`a & b`
并集	$a \cup b$	`a \| b`
补集	$\bar{a}$	`~a`
差集	$a \setminus b$	`a & (~b)`
对称差	$a\triangle b$	`a ^ b`

位运算的常用方法¶

乘以 2 运算。

1
2
3

int mulTwo(int n) {  // 计算 n*2
  return n << 1;
}

除以 2 运算。

1
2
3

int divTwo(int n) {  // 负奇数的运算不可用
  return n >> 1;     // 除以 2
}

乘以 2 的 $m$ 次方。

1
2
3

int mulTwoPower(int n, int m) {  // 计算 n*(2^m)
  return n << m;
}

除以 2 的 $m$ 次方。

1
2
3

int divTwoPower(int n, int m) {  // 计算 n/(2^m)
  return n >> m;
}

判断一个数的奇偶性。

1	bool isOddNumber(int n) { return n & 1; }

取绝对值（某些机器上，效率比 n > 0 ? n : -n 高）。

int abs(int n) {
  return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
  /* n>>31 取得 n 的符号，若 n 为正数，n>>31 等于 0，若 n 为负数，n>>31 等于 - 1
     若 n 为正数 n^0=0, 数不变，若 n 为负数有 n^-1
     需要计算 n 和 - 1 的补码，然后进行异或运算，
     结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1，再减去 - 1 就是绝对值 */
}

取两个数的最大值（某些机器上，效率比 a > b ? a : b 高）。

int max(int a, int b) {
  return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31);
  /* 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0，否则为 - 1 */
}

取两个数的最小值（某些机器上，效率比 a > b ? b : a 高）。

int min(int a, int b) {
  return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31);
  /* 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0，否则为 - 1 */
}

判断符号是否相同。

bool isSameSign(int x, int y) {  // 有 0 的情况例外
  return (x ^ y) >=
         0;  // true 表示 x 和 y 有相同的符号，false 表示 x,y 有相反的符号。
}

计算 2 的 $n$ 次方。

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2
3

int getFactorialofTwo(int n) {  // n > 0
  return 1 << n;                // 2 的 n 次方
}

判断一个数是不是 2 的幂。

bool isFactorialofTwo(int n) {
  return n > 0 ? (n & (n - 1)) == 0 : false;
  // 当然你也可以使用下面这种更为简便的写法:
  // return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;
  /* 如果是 2 的幂，n 一定是 100... n-1 就是 1111....
     所以做与运算结果为 0 */
}

对 2 的 $n$ 次方取余。

int quyu(int m, int n) {  // n 为 2 的次方
  return m & (n - 1);
  /* 如果是 2 的幂，n 一定是 100... n-1 就是 1111....
     所以做与运算结果保留 m 在 n 范围的非 0 的位 */
}

求两个整数的平均值。

1
2
3

int getAverage(int x, int y) {
  return (x + y) >> 1;
  ｝

遍历一个集合的子集

int b = 0;
do {
  // process subset b
} while (b = (b - x) & x);

题目推荐¶

CODEVS 2743 黑白棋游戏

参考¶

位运算技巧： https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html

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