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最大公约数

最大公约数¶

最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。

在素数一节中，我们已经介绍了约数的概念。

一组数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。而最大公约数，则是指所有公约数里面最大的一个。

那么如何求最大公约数呢？我们先考虑两个数的情况。

欧几里德算法¶

如果我们已知两个数 $a$ 和 $b$ ，如何求出二者的最大公约数呢？

不妨设 $a > b$

我们发现如果 $b$ 是 $a$ 的约数，那么 $b$ 就是二者的最大公约数。下面讨论不能整除的情况，即 $a = b \times q + r$ ，其中 $r < b$ 。

我们通过证明可以得到 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)$ ，过程如下：

设 $a=bk+c$ ，显然有 $c=a \bmod b$ 。设 $d|a\ \ \ d|b$ ，则 $c=a-bk$ $\frac{c}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k$ 由右边的式子可知 $\frac{c}{d}$ 为整数，即 $d|c$ 所以对于 $a,b$ 的公约数，它也会是 $a \bmod b$ 的公约数。

反过来也需要证明

设 $d|b\ \ \ d|(a \bmod b)$ ，我们还是可以像之前一样得到以下式子 $\frac{a\bmod b}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k$ $\frac{a\bmod b}{d}+\frac{b}{d}k=\frac{a}{d}$ 因为左边式子显然为整数，所以 $\frac{a}{d}$ 也为整数，即 $d|a$ ，所以 $b,a\bmod b$ 的公约数也是 $a,b$ 的公约数。

既然两式公约数都是相同的，那么最大公约数也会相同。

所以得到式子 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$

既然得到了 $\gcd(a, b) = \gcd(b, r)$ ，这里两个数的大小是不会增大的，那么我们也就得到了关于两个数的最大公约数的一个递归求法。

int gcd(int a, int b) {
  if (b == 0) return a;
  return gcd(b, a % b);
}

递归至 b==0 （即上一步的 a%b==0 ) 的情况再返回值即可。

上述算法被称作欧几里德算法（Euclidean algorithm）。

如果两个数 $a$ 和 $b$ 满足 $\gcd(a, b) = 1$ ，我们称 $a$ 和 $b$ 互质。

多个数的最大公约数¶

那怎么求多个数的最大公约数呢？显然答案一定是每个数的约数，那么也一定是每相邻两个数的约数。我们采用归纳法，可以证明，每次取出两个数求出答案后再放回去，不会对所需要的答案造成影响。

最小公倍数¶

接下来我们介绍如何求解最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）。

两个数的¶

首先我们介绍这样一个定理——算术基本定理：

每一个正整数都可以表示成若干整数的乘积，这种分解方式在忽略排列次序的条件下是唯一的。

用数学公式来表示就是 $x = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_s^{k_s}$

设 $a = p_{a_1}^{k_{a_1}}p_{a_2}^{k_{a_2}} \cdots p_{a_s}^{k_{a_s}}$ , $b = p_{b_1}^{k_{b_1}}p_{b_2}^{k_{b_2}} \cdots p_{b_s}^{k_{b_s}}$

我们发现，对于 $a$ 和 $b$ 的情况，二者的最大公约数等于

$p_1^{k_{\min(a_1, b_1)}}p_2^{k_{\min(a_2, b_2)}} \cdots p_s^{k_{\min(a_s, b_s)}}$

最小公倍数等于

$p_1^{k_{\max(a_1, b_1)}}p_2^{k_{\max(a_2, b_2)}} \cdots p_s^{k_{\max(a_s, b_s)}}$

由于 $a + b = \max(a, b) + \min(a, b)$

所以得到结论是 $\gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b$

要求两个数的最小公倍数，先求出最大公约数即可。

多个数的¶

可以发现，当我们求出两个数的 $gcd$ 时，求最小公倍数是 $O(1)$ 的复杂度。那么对于多个数，我们其实没有必要求一个共同的最大公约数再去处理，最直接的方法就是，当我们算出两个数的 $gcd$ ，或许在求多个数的 $gcd$ 时候，我们将它放入序列对后面的数继续求解，那么，我们转换一下，直接将最小公倍数放入序列即可。

扩展欧几里得定理¶

扩展欧几里德定理（Extended Euclidean algorithm, EXGCD），常用于求 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组可行解。

证明¶

设

$ax_1+by_1=\gcd(a,b)$

$bx_2+(a\bmod b)y_2=\gcd(b,a\bmod b)$

由欧几里得定理可知： $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$

所以 $ax_1+by_1=bx_2+(a\bmod b)y_2$

又因为 $a\bmod b=a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)$

所以 $ax_1+by_1=bx_2+(a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b))y_2$

$ax_1+by_1=ay_2+bx_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_2=ay_2+b(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2)$

因为 $a=a,b=b$ ，所以 $x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2$

将 $x_2,y_2$ 不断代入递归求解直至 GCD（最大公约数，下同）为 0 递归 x=1,y=0 回去求解。

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}

函数返回的值为 GCD，在这个过程中计算 $x,y$ 即可。

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