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卢卡斯定理

Lucas 定理

Lucas 定理用于求解大组合数取模的问题，其中 p 必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解（详见 排列组合 ），但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到 Lucas 定理。

求解方式

Lucas 定理内容如下：对于质数 $p$ ，有

$$\binom{n}{m}\bmod p = \binom{\left\lfloor n/p \right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\cdot\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\bmod p$$

观察上述表达式，可知 $n\bmod p$ 和 $m\bmod p$ 一定是小于 $p$ 的数，可以直接求解， $\displaystyle\binom{\left\lfloor n/p \right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}$ 可以继续用 Lucas 定理求解。这也就要求 $p$ 的范围不能够太大，一般在 $10^5$ 左右。边界条件：当 $m=0$ 的时候，返回 $1$ 。

时间复杂度为 $O(f(p) + g(n)\log n)$ ，其中 $f(n)$ 为预处理组合数的复杂度， $g(n)$ 为单次求组合数的复杂度。

代码实现

long long Lucas(long long n, long long m, long long p) {
  if (m == 0) return 1;
  return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p)) % p;
}

Lucas 定理的证明

考虑 $\displaystyle\binom{p}{n} \bmod p$ 的取值，注意到 $\displaystyle\binom{p}{n} = \frac{p!}{n!(p-n)!}$ ，分子的质因子分解中 $p$ 次项恰为 $1$ ，因此只有当 $n = 0$ 或 $n = p$ 的时候 $n!(p-n)!$ 的质因子分解中含有 $p$ ，因此 $\displaystyle\binom{p}{n} \bmod p = [n = 0 \vee n = p]$ 。进而我们可以得出

$$\begin{align} (a+b)^p &= \sum_{n=0}^p \binom pn a^n b^{p-n}\\ &\equiv \sum_{n=0}^p [n=0\vee n=p] a^n b^{p-n}\\ &\equiv a^p + b^p \pmod p \end{align}$$

注意过程中没有用到费马小定理，因此这一推导不仅适用于整数，亦适用于多项式。因此我们可以考虑二项式 $f(x)=(ax^n + bx^m)^p \bmod p$ 的结果

$$\begin{align} (ax^n + bx^m)^p &\equiv a^p x^{pn} + b^p x^{pm} \\ &\equiv ax^{pn} + bx^{pm}\\ &\equiv f(x^p) \end{align}$$

考虑二项式 $(1+x)^n \bmod p$ ，那么 $\displaystyle\binom n m$ 就是求其在 $x^m$ 次项的取值。使用上述引理，我们可以得到

$$\begin{align} (1+x)^n &\equiv (1+x)^{p\lfloor n/p \rfloor} (1+x)^{n\bmod p}\\ &\equiv (1+x^p)^{\lfloor n/p \rfloor} (1+x)^{n\bmod p} \end{align}$$

注意前者只有在 $p$ 的倍数位置才有取值，而后者最高次项为 $n\bmod p \le p-1$ ，因此这两部分的卷积在任何一个位置只有最多一种方式贡献取值，即在前者部分取 $p$ 的倍数次项，后者部分取剩余项，即 $\displaystyle\binom{n}{m}\bmod p = \binom{\left\lfloor n/p \right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\cdot\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\bmod p$ 。

exLucas 定理

Lucas 定理中对于模数 $p$ 要求必须为素数，那么对于 $p$ 不是素数的情况，就需要用到 exLucas 定理。

求解方式

首先对于 p 进行质因数分解： $p=p_{1}^{k_1}p_{2}^{k_2}\cdots p_{n}^{k_n}$ ，则如果可以求出每个 $C_{n}^{m}\equiv a_i \pmod {p_{i}^{q_i}}$ ，那么对于同余方程组

$$\begin{cases} C_{n}^{m}\equiv a_1 \pmod {p_{1}^{q_1}}\\ C_{n}^{m}\equiv a_2 \pmod {p_{2}^{q_2}}\\ \,\,\,\,\vdots\\ C_{n}^{m}\equiv a_n \pmod {p_{n}^{q_n}}\\ \end{cases}$$

使用中国剩余定理即可求出 $C_{n}^{m}$ 的值。

但是可以发现 $p_{i}^{q_i}$ 也不一定是素数，接下来介绍如何计算 $C_{n}^{m}\bmod p^t$ 。

首先由求组合数的公式 $C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ ，如果可以分别计算出 $n!, m!, (n-m)!$ 在模 $p^t$ 意义下的值，那么就可以得到答案。

以第一个式子为例，当 $p=3,t=2,n=19$ 时，有：

$$\begin{split} n!&=1\cdot 2\cdot 3\cdots 19\\ &=(1\cdot 2\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8\cdot 10\cdot 11\cdot 13\cdot 14\cdot 16\cdot 17\cdot 19)\cdot (3\cdot 6\cdot 9\cdot 12\cdot 15\cdot 18)\\ &=(1\cdot 2\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8\cdot 10\cdot 11\cdot 13\cdot 14\cdot 16\cdot 17\cdot 19)\cdot 3^6\cdot(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6) \end{split}$$

可以看到后面一部分在模意义下相当于 $(n/p)!$ ，于是可以递归进行计算。

前面一部分是以 $p^t$ 为周期的，也就是 $(1\cdot 2\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8)\equiv (10\cdot 11\cdot 13\cdot 14\cdot 16\cdot 17)\ \pmod{3^2}$ ，所以只需要计算最后不满足一个周期的数是哪些就可以了（这个例子中就只要计算 $19$ ）。显然，不满足一个周期的数的个数不超过 $p^t$ 个。

代码实现

其中 int inverse(int x) 函数返回 $x$ 在模 $p$ 意义下的逆元。

LL CRT(int n, LL* a, LL* m) {
  LL M = 1, p = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) M = M * m[i];
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    LL w = M / m[i], x, y;
    exgcd(w, m[i], x, y);
    p = (p + a[i] * w * x % mod) % mod;
  }
  return (p % mod + mod) % mod;
}
LL calc(LL n, LL x, LL P) {
  if (!n) return 1;
  LL s = 1;
  for (int i = 1; i <= P; i++)
    if (i % x) s = s * i % P;
  s = Pow(s, n / P, P);
  for (int i = n / P * P + 1; i <= n; i++)
    if (i % x) s = s * i % P;
  return s * calc(n / x, x, P) % P;
}
LL multilucas(LL m, LL n, LL x, LL P) {
  int cnt = 0;
  for (int i = m; i; i /= x) cnt += i / x;
  for (int i = n; i; i /= x) cnt -= i / x;
  for (int i = m - n; i; i /= x) cnt -= i / x;
  return Pow(x, cnt, P) % P * calc(m, x, P) % P * inverse(calc(n, x, P), P) %
         P * inverse(calc(m - n, x, P), P) % P;
}
LL exlucas(LL m, LL n, LL P) {
  int cnt = 0;
  LL p[20], a[20];
  for (LL i = 2; i * i <= P; i++) {
    if (P % i == 0) {
      p[++cnt] = 1;
      while (P % i == 0) p[cnt] = p[cnt] * i, P /= i;
      a[cnt] = multilucas(m, n, i, p[cnt]);
    }
  }
  if (P > 1) p[++cnt] = P, a[cnt] = multilucas(m, n, P, P);
  return CRT(cnt, a, p);
}

习题

• Luogu3807【模板】卢卡斯定理
• SDOI2010 古代猪文 卢卡斯定理
• Luogu4720【模板】扩展卢卡斯

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