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表达式求值

表达式求值要解决的问题一般是输入一个字符串表示的表达式，要求输出它的值。当然也有变种比如表达式中是否包含括号，指数运算，含多少变量，判断多个表达式是否等价，等等。

其中判断表达式等价的部分使用了拉格朗日插值法等数学工具，在此暂不进行展开。

一般的思路分为两种，一种递归一种非递归。

递归¶

递归的方法是把表达式拆分成如图所示的表达式树，然后在树结构上自底向上进行运算。

表达式树上进行树的遍历可以得到不同类型的表达式

前序遍历对应前缀表达式（波兰式）
中序遍历对应中缀表达式
后序遍历对应后缀表达式（逆波兰式）

非递归¶

非递归的方法是定义两个栈来分别存储运算符和运算数。每当遇到一个数直接放进数的栈；每当遇到一个操作符时，要查找之前运算符栈中的元素，按照预先定义好的优先级来进行适当的弹出操作（弹出的同时求出对应的子表达式的值）。

我们要知道：算术表达式分为三种，分别是前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式。其中，中缀表达式是我们日常生活中最常用的表达式；后缀表达式是计算机最容易理解的表达式。为什么说后缀表达式最容易被计算机理解呢？因为后缀表达式不需要括号表示，它的运算顺序是唯一确定的。举个例子：在后缀表达式 $3 2 * 1 -$ 中，首先计算 $3 \times 2 = 6$ （使用最后一个运算符，即栈顶运算符），然后计算 $6 - 1 = 5$ 。可以看到：对于一个后缀表达式，只需要 维护一个数字栈，每次遇到一个运算符，就取出两个栈顶元素，将运算结果重新压入栈中 。最后，栈中唯一一个元素就是改后缀表达式的运算结果时间复杂度 $O(n)$ 。

所以说，对于普通中缀表达式的计算，我们可以将其转化为后缀表达式再进行计算。转换方法也十分简单。只要建立一个用于存放运算符的栈，扫描该中缀表达式：

如果遇到数字，直接将该数字输出到后缀表达式（以下部分用「输出」表示输出到后缀表达式）
如果遇到左括号，入栈
如果遇到右括号，不断输出栈顶元素，直至遇到左括号。（左括号出栈，但不输出）
如果遇到其他运算符，不断去除所有运算优先级大于等于当前运算符的运算符，输出。最后，新的符号入栈。
把栈中剩下的符号依次输出，表达式转换结束。

时间复杂度 $O(n)$ .

示例代码：

// 下面代码摘自笔者 NOIP2005 等价表达式
std::string convert(const std::string &s) {  // 把中缀表达式转换为后缀表达式
  std::stack<char> oper;
  std::stringstream ss;
  ss << s;
  std::string t, tmp;
  while (ss >> tmp) {
    if (isdigit(tmp[0]))
      t += tmp + " ";  // 1. 如果遇到一个数，输出该数
    else if (tmp[0] == '(')
      oper.push(tmp[0]);       // 2. 如果遇到左括号，把左括号入栈
    else if (tmp[0] == ')') {  // 3. 如果遇到右括号，
      while (!oper.empty() && oper.top() != '(')
        t += std::string(1, oper.top()) + " ",
            oper.pop();  // 不断取出栈顶并输出，直到栈顶为左括号，
      oper.pop();        // 然后把左括号出栈
    } else {             // 4. 如果遇到运算符
      while (!oper.empty() && level[oper.top()] >= level[tmp[0]])
        t += std::string(1, oper.top()) + " ",
            oper.pop();  // 只要栈顶符号的优先级不低于新符号，就不断取出栈顶并输出
      oper.push(tmp[0]);  // 最后把新符号进栈
    }
  }
  while (!oper.empty()) t += std::string(1, oper.top()) + " ", oper.pop();
  return t;
}

int calc(const std::string &s) {  // 计算转换好的后缀表达式
  std::stack<int> num;
  std::stringstream ss;
  ss << s;
  std::string t, tmp;
  while (ss >> tmp) {
    if (isdigit(tmp[0]))
      num.push(stoi(tmp));
    else {
      int b, a;  // 取出栈顶元素，注意顺序
      if (!num.empty()) b = num.top();
      num.pop();
      if (!num.empty()) a = num.top();
      num.pop();
      if (tmp[0] == '+') num.push(a + b);
      if (tmp[0] == '-') num.push(a - b);
      if (tmp[0] == '*') num.push(a * b);
      if (tmp[0] == '^') num.push(qpow(a, b));
    }
  }
  return num.top();
}

习题¶

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